線型代数のつづき（2023年度）

2023年4月9日16:29作成

2023年5月15日19:12更新

授業日時，場所

水曜日　16時〜17時30分
ウエスト1号館 C-615 中セミナー室

教科書について

教科書は特に指定しません．

参考書としては次の2冊を挙げておきます．

佐武一郎著「線型代数学」(裳華房)
斎藤毅著「線形代数の世界抽象数学の入り口」(東京大学出版会)

授業予定

以下はあくまで予定です．今学期のスケジュールに従って随時変更される可能性があります．

4月17日線型方程式系

線型代数への導入
線型方程式系—Gauss-Jordan消去法と階段行列
行列の階数と，線型方程式系の解の構造

4月24日行列が定める線型写像

$\mathbb{R}^{n}$ の元の線型結合
行列が定める線型写像
1. 写像
2. $\mathbb{R}^{n}$ から $\mathbb{R}^{m}$ への線型写像とその行列
3. 写像の合成と行列の積
4. 可逆な写像と逆行列
の部分空間
1. 行列の像と核
2. $\mathbb{R}^{n}$ の部分空間
3. 部分集合 $S\subset\mathbb{R}^{n}$ で張られる部分空間 $\mathrm{span}S$
4. 一次関係，一次独立と一次従属，部分空間の基底
5. 行列の像と核の基底の求め方

5月1日休講

5月8日線型空間

$\mathbb{R}$ ベクトル空間の定義と例
$\mathbb{R}$ ベクトル空間 $V$ の部分空間，特に $S\subset V$ で張られる部分空間 $\mathrm{span}(S)$
線型写像 $f:V\rightarrow W$ とその像 $\mathrm{Im} f\subset W$ , 核 $\mathrm{Ker} f\subset V$ . 特にベクトル空間の同型
線型独立，線型従属性と，ベクトル空間の基底
有限基底を持つベクトル空間の次元，線型写像の階数
ベクトル空間の元の座標，線型写像の行列表示
Rank-nullity定理

5月15日 $\mathbb{R}^{n}$ の内積

の内積
- 内積 $\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}$
- ベクトルの直交関係とノルム (長さ)
- 正規直交族，部分空間の正規直交基底
- 部分空間 $V\subset \mathbb{R}^{n}$ への直交射影 $\mathrm{pr}_{V}$
の幾何
- Pythagorasの定理と，その帰結： $\|\boldsymbol{x}\|\geqq\|\mathrm{pr}_{V}(\boldsymbol{x})\|$
- Cauchy-Schwarzの不等式 $|\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}|\leqq \|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|$
- 二つのベクトルのなす角
直交化
- Gram-Schmidtの直交化
- $QR$ 分解
- 転置行列，対称/交代行列，直交行列

5月22日内積空間

5月29日行列式（その１）

6月5日行列式（その２）

6月12日固有値と固有空間

6月19日 Jordan分解

6月26日二次形式とエルミート形式

7月3日特異値分解

7月10日双対空間

7月17日海の日

7月24日テンソル積