数学特論８，表現論大意 (2021)

2021年4月4日08:35作成

2021年5月26日19:19更新

授業の日時と教室

  • 2021年度前期，火曜日3時限目
  • C-501大講義室（4月20日以降，県内での新型コロナウイルスの急速な感染拡大のため，遠隔授業を行っています．）

授業の概要

近年の保型形式の整数論的な研究では，Galois表現との関係や{L}関数値の考察のために保型形式の局所構造の考察が不可欠となってきている．それには保型形式をアデール環上の代数群の表現ととらえる保型表現論が最適で，その局所構造は{p}進体上の線型代数群の表現論により記述される．この授業ではp進群の表現論の基礎となる，「完全不連結群」の表現論を解説する．

概観としてはまず，有限群の線型表現の復習を通じて，表現論の基本的な考え方を学ぶ．次に完全不連結位相空間および完全不連結位相群を導入し，それらの構造や，表現論に必要となる関数解析の基礎概念を説明する．最後にこれらを用いて，完全不連結群の適切な表現の概念や，それらの表現に対する基本的な操作を学ぶ．

授業計画

4月13日 有限群の表現

1.1. 有限群の表現

  • 有限群{G}の群環{\mathbb{C}[G]}
  • {G}の(有限次元) 表現，{G}準同型，{G}同型，{\mathrm{Hom}_{G}(V_{1},V_{2})=\mathrm{Hom}_{G}(\pi_{1},\pi_{2})}．
  • 部分・商表現，直和表現
  • 双対表現{(\pi^{\vee},V^{\vee})}，例として左右の正則表現{(L,\mathcal{H}(G))}, {(R,\mathcal{H}(G))}
  • 外部テンソル積表現{(\pi\boxtimes\tau,V\boxtimes W)}, (内部)テンソル積表現{(\pi\otimes\tau,V\otimes W)}

1.2. 半単純性

  • 既約表現
  • {{\mathbb C}}代数上の有限次元左加群に対するSchurの補題
  • {G}の既約表現に対するSchurの補題
  • 完全可約な表現
  • Maschkeの定理：{G}の任意の表現は完全可約．

4月20日 有限群上の調和解析

2.1 誘導表現

  • 誘導表現{(i_{H}^{G}(\tau),i_{H}^{G}(V))}と，制限関手{\mathrm{res}_{H}^{G} : \mathcal{R}(G)\rightsquigarrow\mathcal{R}(H)}
  • Frobenius相互律\displaystyle \mathrm{Hom}_{G}(i_{H}^{G}(\tau),\pi)\cong\mathrm{Hom}_{H}(\tau,\pi|_{H})
  • Bruhat理論: \displaystyle \mathrm{res}_{K}^{G}\circ i_{H}^{G}=\bigoplus_{g\in K\backslash G/H}\, i_{K\cap gHg^{-1}}^{K}\circ\mathrm{Ad}(g)\circ\mathrm{res}_{g^{-1}Kg\cap H}^{H}
  • Mackeyの既約性判定律

2.2 行列成分と指標

  • 行列成分\displaystyle f_{v,v^{\vee}}(g):=\langle\pi(g)v,v^{\vee}\rangle , その空間{\mathcal{A}(\pi)\subset\mathcal{H}(G)}
  • Schurの直交関係
  • 指標\chi_{\pi}(g):=\mathrm{tr}\pi(g) とその直交関係

4月27日 有限群のスペクトル分解

3.1. 正則表現の既約分解

  • 既約表現の行列成分の表現への作用．特に射影子{e[\pi]:=(\dim\pi)\chi_{\pi^{\vee}}/|G|\in\mathcal{H}(G)}
  • 既約分解の一意性，既約表現の重複度，表現の組成因子
  • 直和分解{\mathcal{H}(G)=\bigoplus_{\pi\in\mathrm{Irr}(G)}\,\mathcal{A}(\pi)}

3.2. 類関数

  • 随伴作用\displaystyle \mathrm{Ad}(g)x =gxg^{-1}, \quad \mathrm{Ad}(g)f(x)=f(g^{-1}xg),\quad g,\ x\in G,\ f\in\mathcal{H}(G). と類関数の空間{\mathcal{I}(G)}
  • 既約指標の集合{\{\chi_{\pi}\mid \pi \in \mathrm{Irr}(G)\} }は{\mathcal{I}(G)}の基底

5月4日 みどりの日

5月11日 完全不連結空間

4.1. 完全不連結空間

  • 完全不連結空間とTDLC空間の定義と，TDLC空間の特徴づけ

4.2. 滑らかな関数と超関数

  • TDLC空間{X}上の滑らかな関数の空間{C^{\infty}(X)}
  • {f\in C^{\infty}(X)}の台{\mathrm{supp} f}と，コンパクト台付き順滑関数の空間{C_{c}^{\infty}(X)}．
  • TDLC空間{X}上の超関数の空間{\mathcal{D}(X)}
  • 基本完全系列と超関数の台．コンパクト台付き超関数の空間{\mathcal{D}_{c}(X)}
  • TDLC空間の直積{X\times Y}と{C_{c}^{\infty}(X\times Y)}，その上の超関数の空間

5月18日 出張のため休講

5月25日 ベクトル束

5.1. 層の復習

  • 位相空間{X}上の前層{\mathscr{F}}, その切断の群{\mathscr{F}(U)}, 茎{\mathscr{F}_{x}}
  • 位相空間{X}上の層と，層の射
  • 例：TDLC空間{X}上の滑らかな関数の層{\mathscr{C}_X^{\infty}}

5.2. ベクトル束

  • TDLC空間{X}上の{\mathscr{C}_X^{\infty}}加群と，それらの圏{\mathscr{M}od(\mathscr{C}_X^{\infty})}
  • {\mathscr{C}_X^{\infty}}加群{\mathscr{F}}の切断の台，コンパクト台付き切断の空間{\mathscr{F}_{c}(U)}
  • 定理5.8. 圏同値{\mathscr{M}od(\mathscr{C}_X^{\infty})\ni \mathscr{F}\longmapsto \mathscr{F}_{c}(U)\in \mathscr{M}od(C_c^{\infty}(X))}

6月1日 完全不連結群

6.1. \mathscr{C}_{X}^{\infty}加群の操作

  • 局所閉集合Y\subset Xへの制限\mathscr{F}|_{Y}
  • 連続写像h:X\rightarrow Y による順像h_{\ast}\mathscr{F}
  • 局所閉集合Y\subset Xに対する射p_Y : \mathscr{F}\rightarrow \iota_{\ast}(\mathscr{F}|_Y)と，開集合Y\subset Xに対するi_Y :\iota_{\ast}(\mathscr{F}|_Y)\rightarrow \mathscr{F}
  • 命題6.4. 基本完全列
  • \mathscr{F}上の超関数の空間\mathcal{D}(\mathscr{F})と，超関数の台

6.2. TDLC群

  • TDLC群の定義と特徴づけ

6.3. 位相群の軌道空間

  • 位相群の正則作用と軌道空間の分離性
  • 軌道空間の準コンパクト性判定律

6月8日 完全不連結群の作用と不変測度

6月15日 畳み込み積

6月22日 Hecke環

6月29日 順滑表現

7月6日 許容表現

7月13日 誘導およびJacquet関手

7月20日 幾何的補題

7月27日 Bernstein の中心への導入

文献

授業の進行に応じて必要な文献を挙げていきます．

成績評価について

単位がほしい人は授業中に出題する演習課題に解答し，それをレポートにして翌週の授業までに提出して下さい．