微分積分学・同演習A (2020年度)

2020年3月18日10:10作成

2020年9月4日09:32更新

授業の日時

  • 水曜日3時限目
  • 2305教室（春学期期間5月7日〜6月24日は遠隔授業を行います．）

教科書

この授業は次の教科書に沿って進めます。特に演習は教科書中の演習問題を中心に行います。

微分積分学講義
野村隆昭 著
共立出版

授業の進め方、演習について

今学期，少なくとも春学期期間は Moodle による遠隔授業を行います．

  1. 授業時間（13時〜14時30分）とその前後1時間に講義ノートと講義の音声ファイルを Moodle にアップします．講義ノートをダウンロードして，それを見ながら講義音声を聞くことで受講完了となります．
  2. 授業時間以降，土曜日まで Moodle に掲示される課題に解答し，解答をレポートにまとめたものを pdfスキャン して，Moodle コースに提出して下さい．締め切りは授業のあった週の土曜日終日とします．

授業予定

これはあくまで予定であり，実際の授業内容は諸般の事情により変更になることがあります．

今年度は新型コロナウイルスの流行により，授業日程が5月7日以降に後倒しされています．

5月13日 数列と関数の極限

1.1. 記号と慣習

  • {\mathbb{N}\subset\mathbb{Z} \subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \subset \mathbb{C}}
  • 開区間，閉区間，半開区間
  • 任意の({\forall})とある({\exists})に対して
  • 写像とその定義域
  • 二項係数は{\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}}と書く．

1.2. 数列の極限

  • 写像{\mathbb{N}\ni n\mapsto a_{n}\in\mathbb{R}}を数列といい，{\{a_{n}\}}で表す．
  • 数列の収束の定義2.3．

5月20日 実数の連続性

2.1. 数列の極限の補足

  • {{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\,a_{n}=+\infty}}, {{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\,a_{n}=-\infty}}の定義と例．

2.2. 実数の連続性

  • 実数の部分集合の切断．
  • Dedekind の切断 (実数の連続性)
  • 上・下に有界な集合，上界と下界，上限と下限．
  • 連続性の公理の言い換え：{\mathbb{R}}の任意の上に有界な部分集合の上限が存在する．

5月27日 関数の極限と連続関数

  • 復習と補足
    • 実数の連続性の復習
    • Bolzano-Weierstrassの定理
  • 関数の極限，左右極限の定義
  • 開区間，閉区間上の連続関数の定義
  • 連続関数の性質
    • 中間値の定理
    • 閉区間上での最大，最小値の存在

6月3日 微分と導関数

  • 平均変化率関数と微分可能性
  • 導関数
  • 微分の基本性質：線形性，Leibniz則，商の導関数
  • 合成関数の微分
  • 平均値の定理

6月10日 初等関数

  • 逆関数の存在条件：狭義単調連続関数は連続な逆関数を持つ．
  • 逆関数の微分可能性と導関数
  • 指数関数の構成
  • 対数関数の構成

6月17日 Taylor の定理

  • 初等関数：三角関数と逆三角関数
  • 高階微分可能性と高階導関数，高階 Leibniz 則
  • C^r級関数，C^\infty級関数
  • Taylorの定理
  • 応用：極値の判定法

6月24日 出張のため休講

7月1日 増大度とその応用

  • 高位の無限大，無限小とランダウの記号
  • ランダウの記号による Taylor の定理，Taylor 多項式の一意性とその例
  • 不定形の極限
  • L’Hôpital の定理（正確な成立条件）

7月8日 定積分の定義

  • 閉区間の分割
  • 上限和と下限和による定積分の定義
  • Darboux の定理
  • Riemann 和と定積分

7月15日 定積分の性質

  • 閉区間上の連続関数の一様連続性と積分可能性
  • 拡張：区分的に連続な関数の定義と，その積分可能性
  • 定積分の基本性質：線形性，正値性，積分区間に関する加法性

7月22日 原始関数とその計算法

  • 微積分の基本定理
  • 原始関数，不定積分
  • 定積分の計算方法：部分積分，置換積分
  • 有理関数の原始関数

7月29日 広義積分

  • 三角関数の有理式の原始関数
  • 無理関数の原始関数の例
  • 広義積分の定義
  • 広義積分の絶対収束判定法

8月5日 \varGamma関数とB関数

  • \varGamma関数
  • B関数
  • 積分を用いた Taylor の定理

成績評価について

成績はレポート課題、小テストの結果を総合的に判断して行います。