線形代数 (2019年度編入生向け)

2019年4月5日作成

2019年6月6日9:03更新

授業日時と場所

水曜日16時40分から18時10分まで
C-612セミナー室

線型代数とは

線型代数学は英語では linear algebra で，linear は 1 次式の意味です．一方の algebra の語源は，現在のウズベキスタン周辺であるホラズムの数学者ムハマド・ベン・ムサ・アル・フワーリズミー (al-Khwarzmi) による al-jabr です．al-jabr は等式の両辺に同じ正の数を足す，あるいはかける操作を指し，両辺から同じ数を差し引く意味の wal muqabala と併せて，方程式を解くことを意味します．すなわち線形代数学は，一次方程式系を解くことや，そこから派生したアイデアを学ぶものです．

教科書について

教科書は特に指定しません．必要に応じて講義資料を配布します．

参考書としては次の2冊を挙げておきます．

佐武一郎著「線型代数学」(裳華房)
斎藤毅著「線形代数の世界抽象数学の入り口」(東京大学出版会)

授業の進め方

授業は講義によります．授業の最後にはレポート課題を出します．履修者の皆さんは課題の解答をレポートにして，翌週の授業の最初に提出してください．

授業内容

以下はあくまで予定であり，事情により随時変更されることがあります．

4月10日線型方程式系 (復習)

1.1. Gauss-Jordan 消去法

行基本変形
階段行列 (reduced row echelon form)
Gauss-Jordan 消去法

1.2. 行列の階数

$\mathrm{rank} A$ と $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ の解の構造

1.3. ベクトル表示

線型結合

4月17日行列が定める線型写像 (復習)

2.1 線型写像

写像の復習
- 写像とその定義域，値域(または終域)
- 全射，単射，全単射
- 全単射 $f:X\rightarrow Y$ の逆写像 $f^{-1}:Y\rightarrow X$
- 写像 $f:X\rightarrow Y$ , $g:Y\rightarrow Z$ の合成$g\circ f: X\rightarrow Z$
線型写像 $f: \mathbb{R}^n\ni \boldsymbol{x}\rightarrow A\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^m$ の定義と特徴付け
線型写像の合成は行列の積を与える．
全単射である線型写像は可逆行列に，その逆写像は逆行列に対応する．

2.2 $\mathbb{R}^n$ の部分空間

線型写像の像と核
$\mathbb{R}^n$ の部分空間， $\mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_r\}$
線型関係と線型独立性
部分空間の基底
例：行列の像と核の基底の計算法

4月24日休講

5月1日即位の礼

5月8日一般線型空間

3.1. 部分空間の次元
補題3.1. ${V\subset\mathbb{R}^{n}}$ ；部分空間．

${\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{p}\subset V}$ が一次独立で，
${V=\mathrm{span}\{\boldsymbol{w}_{1}, \dots,\boldsymbol{w}_{q} \}}$ であれば，

${p\leqq q}$ ．

系3.2. 部分空間 ${V\subset\mathbb{R}^{n}}$ の基底の元の個数は，基底のとり方によらず一定．その個数を ${V}$ の次元 (dimension)と呼んで ${\dim V}$ と書く．

3.2. 線型空間

線型空間 (linear space)またはベクトル空間 (vector space)の定義
$S\subset V$ の一次結合，その集合 $\mathrm{span} S$
ベクトル空間の部分空間
$S\subset V$ の一次独立性の定義， $V$ の基底
$V$ が有限基底を持つとき，その個数を ${V}$ の次元 (dimension)と呼んで ${\dim V}$ と書く．

3.3. 線型写像

線型写像 ${f:V\rightarrow W}$ の定義
${f}$ の像 ${\mathrm{Im} f\subset W}$ と核 ${\mathrm{Ker} f\subset V}$
${\mathrm{rank}(f)=\dim(\mathrm{Im} f)}$ を ${f}$ の階数という．
；線型写像，；の基底, ；の基底 s.t.
$\displaystyle f(\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{n})=(\boldsymbol{w}_{1},\dots,\boldsymbol{w}_{m})\begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & \dots & a_{m,n} \end{pmatrix}.$

を ${f}$ の ${(\mathfrak{B},\mathfrak{C})}$ 行列という．

5月15日 ${\mathbb{R}^{n}}$ の内積

4.1. ${\mathbb{R}^{n}}$ の内積の復習

定義4.1. (1) ${\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{pmatrix}}$ , ${\boldsymbol{w}=\begin{pmatrix}w_{1} \\ \vdots\\ w_{n} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n}}$ の内積 (inner product)

$\displaystyle \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+\dots+v_{n}w_{n}\in\mathbb{R}$

(2) ${\boldsymbol{v}}$ , ${\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^{n}}$ が直交 (orthogonal, ${\boldsymbol{v}\bot\boldsymbol{w}}$ ) ${\Longleftrightarrow}$ ${\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} =0}$ ．
(3) ${\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{n}}$ の長さ (length) ${\|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}}}$ ．長さが ${1}$ のベクトルを単位ベクトル (unit vector)という．

定義 4.2. (1)ベクトル ${\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{r}\in\mathbb{R}^{n}}$ が正規直交 (orthonormal)
${\Longleftrightarrow}$

$\displaystyle \boldsymbol{v}_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{j} =\delta_{i,j}=\begin{cases} 1 & i=j, \\ 0 & i\not= j \end{cases}$

${\delta_{i,j}}$ ；Kroneckerの ${\delta}$ 関数．
(2)特に ${m}$ 次元部分空間 ${V\subset \mathbb{R}^{m}}$ の正規直交部分集合 ${\{\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{m}\}}$ は ${V}$ の基底．これを ${V}$ の正規直交基底 (orthonormal basis)という．

命題 4.1. ${V\subset\mathbb{R}^{n}}$ ；部分空間．
(i) ${V^{\bot}=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{v}=0,\,\boldsymbol{v}\in V\}}$ は ${\mathbb{R}^{n}}$ の部分空間 ( ${V}$ の直交補空間 (orthogonal complement))．
(ii) ${\left\{ \boldsymbol{u}_{1},\dots,\boldsymbol{u}_{m}\right\} }$ ； ${V}$ の正規直交基底．
${\Mapsto}$ ${\forall \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}}$ ,

$\displaystyle \mathrm{pr}_{V}(\boldsymbol{x}) =\sum_{j=1}^{r}\,(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{u}_{j})\boldsymbol{u}_{j}$

は ${\boldsymbol{x}-\mathrm{pr}_{V}(\boldsymbol{x})\in V^{\bot}}$ となるただ一つの ${V}$ の要素．
(iii) ${\mathbb{R}^{n}\ni\boldsymbol{x}\mapsto\mathrm{pr}_{V}(\boldsymbol{x})\in V}$ は線形写像 ( ${V}$ への直交射影 (orthogonal projection))．

4.2. Cauchy-Schwarzの不等式

補題 4.1 (Pythagoras の定理). (i) ${\boldsymbol{v}\bot \boldsymbol{w}}$ ${\Mapsto}$ ${ \|\boldsymbol{v} +\boldsymbol{w}\|^{2} =\|\boldsymbol{v}\|^{2}+ \|\boldsymbol{w}\|^{2}}$ .
(ii) ${V\subset\mathbb{R}^{n}}$ ；部分空間 ${\Mapsto}$ ${\mathrm{pr}_{V}(\boldsymbol{x})\leqq\|\boldsymbol{x}\|}$ , ( ${\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{n}}$ )．

命題 4.2 (Cauchy-Schwarz の不等式). ${|\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}|\leqq\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|}$ ．

定義 4.3. ${\cos:[0,\pi]\rightarrow[-1,1]}$ は可逆． ${\mathrm{Arccos}:[-1,1]\rightarrow[0,\pi]}$ ；その逆写像．
${\boldsymbol{v}}$ , ${\boldsymbol{w}\not=\boldsymbol{0}}$ , ${\in\mathbb{R}^{n}}$ のなす角 ${\theta\in[0,\pi]}$ :

$\displaystyle \theta=\mathrm{Arccos}\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}}{\|\boldsymbol{v}\|\|\boldsymbol{w}\|},\quad\cos\theta=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}}{\|\boldsymbol{v}\|\|\boldsymbol{w}\|}$

4.3. Gram-Schmidtの直交化と ${QR}$ 分解

定理 4.1 (Gram-Schmidt の直交化). ${V\subset\mathbb{R}^{n}}$ ；部分空間， ${\{\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{m}\}}$ ；その基底．
${V_{j}:=\mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_{1},\dots, \boldsymbol{v}_{j}\}}$ , ( ${1\leqq j\leqq m}$ ).

$\displaystyle \boldsymbol{u}_{1}=\frac{\boldsymbol{v}_{1}}{\|\boldsymbol{v}_{1}\|},\quad\boldsymbol{u}_{j}=\frac{\boldsymbol{v}_{j}-\mathrm{pr}_{V_{j-1}}(\boldsymbol{v}_{j})}{\|\boldsymbol{v}_{j}-\mathrm{pr}_{V_{j-1}}(\boldsymbol{v}_{j})\|},\quad2\leqq j\leqq m$

により定まる ${\{\boldsymbol{u}_{1},\dots,\boldsymbol{u}_{m}\}}$ は ${V}$ の正規直交基底．

系4.1(QR分解). ${A=\left(\boldsymbol{v}_{1}\boldsymbol{v}_{2}\dots\boldsymbol{v}_{m}\right)}$ ； ${n\times m}$ 行列 s.t. ${\mathrm{rank}(A)=m}$
${\Mapsto}$
1. ${\exists ! Q=\left(\boldsymbol{u}_{1}\boldsymbol{u}_{2}\dots \boldsymbol{u}_{m}\right)}$ ； ${n\times m}$ 行列 s.t. ${\boldsymbol{u}_{1},\dots,\boldsymbol{u}_{m}}$ は正規直交，
2. ${\exists ! R=\begin{pmatrix}r_{1,1} & r_{1,2} & \dots & r_{1,m}\\ 0 & r_{2,2} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & r_{m-1,m}\\ 0 & \dots & 0 & r_{m,m} \end{pmatrix}}$ ； ${m}$ 次正方上三角 (upper triangular)行列
s.t. ${A=QR}$ ．

5月22日内積空間
- $\mathbb{R}$ ベクトル空間に加えて $\mathbb{C}$ ベクトル空間も扱う．
- $\mathbb{R}/\mathbb{C}$ ベクトル空間上の内積，内積空間とその例
- 内積空間の元のノルム，内積空間の距離関数，内積空間での直交関係
- 内積空間の有限次元部分空間への直交射影，Gram-Schmidtの直交化
- 例：Fourier展開への導入
5月29日行列式 (その1)

6.1. 対称群
- ${n}$ 次の置換 (permutation)と対称群 (symmetric group) ${S_{n}}$
- ${r}$ 次巡回置換 ( ${r}$ -cycle) ${(a_{1},\dots,a_{r})}$ , 特に互換 (transposition)．
- 置換の互いに交わらない巡回置換の積への分解．
- 置換の符号
6.2. 行列式
- ${n}$ 次正方行列 ${A=\begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix}}$ の行列式 (determinant)
  $\displaystyle \det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\, \mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\cdots a_{\sigma(n),n}$
- 基本性質:
  1. ${\det{}^{t}A=\det A}$
  2. ${\det A}$ は ${A}$ の各行ベクトル，列ベクトルの線型関数．
  3. ${\det A}$ は ${A}$ の行または列について交代的．
- 階段行列による行列式の計算法
- ${\det(AB)=\det A\cdot\det B}$ .
- ${A}$ が可逆なら， ${\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}}$
6月5日行列式（その2）

7.1. Laplace展開

定理7.1. ${n}$ 次正方行列 ${A=\begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix}}$ に対して

$\displaystyle \det A=\sum_{j=1}^{n}\,a_{i,j}(-1)^{i+j}\det A^{(i,j)}=\sum_{i=1}^{n}\,a_{i,j}(-1)^{i+j}\det A^{(i,j)}.$

ただし，

$\displaystyle A^{(i,j)}=\left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \dots & a_{i-1,n}\\ \hline a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \dots & a_{i+1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \dots & a_{n,n} \end{array}\right)$

は ${A}$ の ${(i,j)}$ 小行列 ( ${(i,j)}$ -minor)．

7.2. 行列式と体積

定義7.1. ${\boldsymbol{v}_{1},\dots, \boldsymbol{v}_{m} \in \mathbb{R}^{n}}$ の張る平行 ${m}$ 次元体 ( ${m}$ -parallelpiped)

$\displaystyle P(\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{m})=\left\{ t_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\dots+t_{m}\boldsymbol{v}_{m}\mid0\leqq t_{i}\leqq1\right\} \subset\mathbb{R}^{n}$

の ${m}$ 次元体積 ( ${m}$ -volume) ${V(\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{m})}$ を， ${m}$ に関して帰納的に

$\displaystyle V(\boldsymbol{v}_{1})=\|\boldsymbol{v}_{1}\|,\quad V(\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{m})=V(\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{m-1})\cdot\|\boldsymbol{v}_{m}-\mathrm{pr}_{V_{m-1}}(\boldsymbol{v}_{m})\|$

と定める．ただし ${V_{i}=\mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{i}\}}$ ．

定理7.2. ${\boldsymbol{v}_{1}, \dots,\boldsymbol{v}_{m} \in\mathbb{R}^{n}}$ に対して， ${n\times m}$ 行列 ${A=\left(\boldsymbol{v}_{1}\dots\boldsymbol{v}_{m}\right)}$ を取れば，

$\displaystyle V(\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{m})=\sqrt{\det\left(^{t}AA\right)}.$

7.3. Cramerの公式

定理7.3. ${n}$ 次可逆行列 ${A=\left( \boldsymbol{v}_{1} \cdots \boldsymbol{v}_{n}\right)}$ に対して，連立一次方程式 ${A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}}$ の解は

$\displaystyle x_{i}=\frac{\det A_{i}(\boldsymbol{b})}{\det A},\quad A_{i}(\boldsymbol{b})=\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdots\overset{\underset{\vee}{i}}{\boldsymbol{b}}\cdots\boldsymbol{v}_{n}\right)$

特に

$\displaystyle A^{-1}=\left((-1)^{i+j}\frac{\det A^{(j,i)}}{\det A}\right)_{i,j}.$

7.4. 線形変換の行列式

${n}$ 次元ベクトル空間 ${V}$ 上の線形変換 ${f : V \rightarrow V}$ の行列式 ${\det f=\det[f]_{\mathfrak{B}}}$ . ただし ${\mathfrak{B}=\{\boldsymbol{v}_{1},\dots,\boldsymbol{v}_{n}\}}$ は ${V}$ の基底．

6月12日 Jordan 標準形

6月19日 Jordan 分解

6月26日エルミート形式

7月3日特異値分解

7月10日指数写像

7月17日双対空間

7月24日テンソル積．